3 Mathematische Modelle und Simulation

3.1 Grundüberlegungen

Bis jetzt wurden die Versuchsergebnisse und die chemische Theorie, die hinter ihnen steckt, beschrieben. Um sie simulieren zu können, ist es notwendig, chemische Reaktionen mathematisch in Modelle zu fassen. Über diesen Weg kann man einerseits überprüfen, ob die Vorstellungen, die man von einem Reaktionsablauf hat, zutreffen. Andererseits kann man manche Details mit Simulationen erforschen, die im Versuch nur schwer zu erfassen sind. Dies betrifft vor allem die Bildung von chemischen Wellen (siehe 2.4). Hier kann man etwa eine dreidimensionale Simulation durchführen, um die Raumstruktur der sich ausbreitenden Spiral- und Kreiswellen zu erkennen. Dies wäre im Versuch wegen der kleinen Abmessungen eines Zentrums und der geringen Schichtdicken sehr schwierig.

Der folgende Teil dieser Arbeit soll verschiedene Rechenmodelle vorstellen und ihre Anwendung zur Simulation verschiedener Versuchsergebnisse beschreiben. Zunächst werden Rechenmodelle für ein einfaches gerührtes, gewissermaßen 0-dimensionales System beschrieben. Danach wird ein Modell auf einen 1-dimensionalen (Linie) und schließlich auf einen 2-dimensionalen Raum (Fläche) übertragen.

Die erste Frage, die sich stellt, ist, wie ein mathematisches Modell für die BZR aussieht. Zuerst wird ein Reaktionsmodell aus verschiedenen einfachen ,,Reaktionsgleichungen`` (RG) entworfen. Aus diesem Modell gewinnt man dann ein mehr oder weniger einfaches Differentialgleichungssystem (DGS). Es handelt sich bei diesen Gleichungen um Ratengleichungen der Form

$\begin{displaymath}\frac{dx}{dt}=f(x, y, \ldots); \qquad\frac{dy}{dt}=g(x, y, \ldots); \qquad\ldots\end{displaymath}$

Dabei sind x und y Stoffmengen. Die Gleichungen geben den Stoffumsatz dx bzw. dy in einem bestimmten Zeitintervall dt an, was man als Umsatzrate bezeichnen kann (daher die Bezeichnung Ratengleichungen). Löst man dieses Gleichungssystem numerisch, indem man von Startwerten ( $x_0,\ y_0,\ \ldots$ ) aus iteriert (Iterieren bedeutet, dass die Ergebnisse eines Rechenschrittes beim n¨achsten Schritt wieder in die Formel eingesetzt werden und so fort.), und trägt das aktuelle x_t bzw. y_t gegen die Zeit t auf, so erhält man eine Kurve, die den Reaktionsverlauf wiederspiegelt. Daraus ergibt sich folgende Formulierung für die iterative Lösung des Systems:

$\begin{displaymath}x_{t+1} = x_t + f(x_t, y_t, \ldots); \qquad y_{t+1} = y_t + g(x_t, y_t, \ldots); \qquad\ldots\end{displaymath}$

Mathematisch gesehen entspricht dies der iterativen numerischen Integration des DGS.

Damit man einen oszillierenden Zustand erreichen kann, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein [Franck 1978]:
1. Die Startwerte $x_0, y_0, \ldots$ müssen unabhängig voneinander vorggebbar sein.
2. Es existiert kein funktionaler Zusammenhang der Form y_t=h(x_t) zwischen den Parametern zur Zeit t. Sie beeinflussen sich nur in ihren Änderungsgeschwindigkeiten, wie es das oben angegebene DGS angibt.
3. Die kinetischen Zusammenhänge müssen nichtlinear sein und autokatalytische, oder autoinhibitorische Schritte enthalten.

Inhalt --

2.4 Versuche: räumliche Oszillation -- 3.2 Rechenmodelle für die zeitliche Reaktion

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